（本小题满分13分）
如图，在三棱锥中，底面，。点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，。
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长。
如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系。依题意可得，，，，，，，。
（Ⅰ），。设为平面的法向量，则即不妨设，可得是平面的一个法向量。又，可得。因为平面，所以平面。
（Ⅱ）易知为平面的一个法向量。设为平面的法向量，则，因为，，所以不妨设，可得是平面的一个法向量。因此有，于是。
所以，二面角的正弦值为。
（Ⅲ）依题意，设（），则，进而可得，。由已知，得，整理得，解得或。所以线段的长为或。
本题主要考查线面平行的判定、二面角、异面直线所成的角及空间向量的应用。
以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系。
（Ⅰ）求出平面的法向量，由可得平面。
（Ⅱ）根据题意知为平面的一个法向量，再求出平面的一个法向量，则与夹角的正弦值即为二面角的正弦值。
（Ⅲ）设（），写出，的坐标，结合向量的夹角公式及已知条件，列方程即可求得线段的长。
