本题主要考查正方体及球的综合。

设正方体的棱长为，则正方体的表面积为。因为这个正方体的表面积为，所以，解得。则该正方体的体对角线的长度为。设球的半径为，又正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的体对角线的长度等于球的直径的长度，即，解得。则球的体积为。

故本题正确答案为。