,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与,都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线与成角时,与成角;
②当直线与成角时,与成角;
③直线与所成角的最小值为;
④直线与所成角的最大值为。
其中正确的是_____。(填写所有正确结论的编号)
②③
本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用。
由题意得,,不妨假设等腰直角三角形的腰长为,以为坐标原点,过点且垂直于平面的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图:
则各点坐标分别为,,因为直线,都垂直于,不妨设直线的方向向量为,直线的方向向量为,因为斜边以直线为旋转轴旋转,所以可设点的坐标为,则,设直线与直线的夹角为,直线与直线的夹角为,则,。
①中,当直线与成角时,有,解得,所以,此时与的夹角的余弦值为,所以与的夹角为,故①错误;
②中,由①分析得与的夹角为,故②正确;
③中,直线与所成角的余弦值为,当越大时,角就越小,而的最大值为,即的最大值为,的最小值为,即直线与所成角的最小值为,故③正确;
④中,直线与所成角的余弦值为,当越小时,角就越大,而的最小值为,即的最小值为,的最大值为,即直线与所成角的最大值为,故④错误;
故本题正确答案为②③。