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2017年高考数学新课标3--理16

  2017-06-27 20:25:36  

(2017新课标Ⅲ卷其他)

为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:

①当直线角时,角;

②当直线角时,角;

③直线所成角的最小值为

④直线所成角的最大值为

其中正确的是_____。(填写所有正确结论的编号)

【出处】
2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):理数第16题
【答案】

②③

【解析】

本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间向量的应用。

由题意得,,不妨假设等腰直角三角形的腰长为,以为坐标原点,过点且垂直于平面的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系如图:

则各点坐标分别为,因为直线都垂直于,不妨设直线的方向向量为,直线的方向向量为,因为斜边以直线为旋转轴旋转,所以可设点的坐标为,则,设直线与直线的夹角为,直线与直线的夹角为,则

①中,当直线角时,有,解得,所以,此时的夹角的余弦值为,所以的夹角为,故①错误;

②中,由①分析得的夹角为,故②正确;

③中,直线所成角的余弦值为,当越大时,角就越小,而的最大值为,即的最大值为的最小值为,即直线所成角的最小值为,故③正确;

④中,直线所成角的余弦值为,当越小时,角就越大,而的最小值为,即的最小值为的最大值为,即直线所成角的最大值为,故④错误;

故本题正确答案为②③。

【考点】
点、直线、平面的位置关系空间向量的应用


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