如图,在中,,。若平面外的点和线段上的点,满足,,则四面体的体积的最大值为 。
本题主要考查空间几何体的体积和点、直线、平面的位置关系。
根据题意,,,所以可求得,设,则,,根据余弦定理:,所以,又,再根据余弦定理可得:,所以。过点作直线的垂线,垂足为,如图所示:
设,根据等面积定值:,所以,四面体的底面积=,设与平面的夹角为,则点到平面的距离,所以四面体的体积为:,设,因为,所以,。
①当是,有,所以,所以在上递减,所以;
②当时,,所以,同理在上递减,所以;综上所述,所以四面体体积最大值为。
故本题正确答案为。