(本小题满分13分)
如图所示,正方形的中心为,四边形为矩形,平面平面,点为的中点,。
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)设为线段上的点,且。求直线和平面所成角的正弦值。
(1)取的中点点,连接、,如图所示:
根据题意则有,且,又四边形为矩形,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,所以平面; ......3分
(2)连接,如图所示:
根据条件可得,,,所以平面,所以,又,所以为二面角的平面角,,,所以,所以; ......7分
(3)如图建立空间直角坐标系:
则,,,,设点为,,即,所以,设平面法向量为,,,所以,且,取,所以,所以,所以与平面所成角的正弦值为。 ......13分
本题主要考查点、直线、面的位置关系,空间直角坐标系。
(1)取的中点点,做出平行四边形,由线线平行关系推得线面平行关系。
(2)先证明面,即可得出为所求二面角的平面角,再通过直角三角形数量关系,即可求出。
(3)建立空间直角坐标系,根据已知条件,表示各点坐标,求出平面法向量,然后利用向量的点乘即可求出两向量夹角的余弦值,经过判断平面法向量方向后,即可求出线面夹角的正弦值。