(本小题满分14分)
双曲线()的左、右焦点分别为、,直线过且与双曲线交于、两点。
(1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设。若的斜率存在,且,求的斜率。
(1)由题意可知的坐标为,的坐标为,,所以。因为的倾斜角为,所以轴,将代入双曲线方程,可得,则点坐标为,的长度为,,因为是等边三角形,所以,即,又因为,解得,所以,因此双曲线的渐近线方程为。
(2)由已知,,设,,直线:。由,得。因为与双曲线交于两点,所以,且,由,,得到,故,解得,故的斜率为。
本题主要考查直线与圆锥曲线、圆锥曲线。
(1)根据题意,可求得过焦点的弦的端点和的坐标,再根据三角形为正三角形,即可求得双曲线的基本量,,;
(2)根据给出的基本量,设出直线的点斜式,与双曲线的方程联立,由韦达定理解出和的关系式,再代入向量关系中,即可得到含直线斜率的方程,求解进而得到值,故可得到直线斜率的值。