（本小题满分14分）
设函数，，其中、。
（1）求的单调区间；
（2）若存在极值点，且，其中，求证：；
（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于。
（1），。
当时，恒成立，的单调递增区间为。
当时，令，解得或。当，，单调递增；，，单调递减；当，，单调递增。所以的单调递减区间为，单调递增区间为和。
（2）由（1）知，且，由题意得，即，，又，且。由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以。
（3）设在区间上的最大值为，表示、的最大值。
当时，，由（1）知，在内单调递减，所以在内的取值范围为，，所以。
当时，，由（1）和（2）知，，所以在区间上的取值范围为，因此
当时，，由（1）（2）知，，所以在内的取值范围为，。
综上所述，在区间上的最大值不小于。
本题主要考查导数在函数研究中的应用。
（1）对求导，讨论的大小，根据正负，判断的单调性；
（2）由（1）得，计算，即可证明；
（3）讨论，，时，的最大值，判断其与的大小。
