（本小题满分14分）
已知函数，其中。
（1）设是的导函数，讨论的单调性；
（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解。
（1）由已知，函数定义域为，
，
所以，
①当时，，则在定义域上单调递增；
②当时，在区间，上单调递增，在上单调递减。
（2）由，解得，
令，
则，，
故存在，使得，
令，（），
由知，函数在区间上单调递增，
即。
当时，有，，
由（1）知，在区间上单调递增，
故当时，，从而；
当时，，从而。
所以，当时，。
综上所述，存在时，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）先写出的表达式，求导判断其单调性，这里需要分类讨论；
（2）求处的值，进而构造，讨论处的取值范围，代入讨论取值范围，从而证得结论。
