(本小题满分12分)
设是等比数列,,,,的各项和,其中,,。
(1)证明:函数在内有且仅有一个零点(记为),且;
(2)设有一个与上述等比数列首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为。比较和的大小,并加以证明。
(1),则,,所以在内至少存在一个零点。又,故在内单调递增,所以在内有且仅有一个零点。因为是的零点,所以,即,故。
(2)由题设,,设,。
当时,;
若,,
所以在上递增,在上递减,所以,即。
综上所述,当时,;当时,。
本题主要考查数列综合。
(1)先由则和得出在内至少存在一个零点,再由在内单调递增得出在内有且仅有一个零点,并解得;
(2)设,分别讨论、、时的正负,即可得出结论。