（本小题满分13分）
如图，已知四棱柱的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点、分别在棱，上。
（1）若是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积。
由题设知，，，两两垂直。以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，，，，其中，。
（1）若是的中点，则，，又，于是，所以，即。
（2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量。设是平面的一个法向量，则，即，取，得，又平面的一个法向量是，所以，而二面角的余弦值为，因此，解得，或（舍去），此时。因为∥平面的一个法向量是，所以，即，亦即，从而。于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积。
本题主要考查二面角。
（1）建立空间坐标系，由向量积为0可证。
（2）设平面的法向量为，由得，又平面的一个法向量是，所以，由二面角的余弦值为得，或（舍去），此时。又平面的一个法向量是，所以，求，，则四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，即可求得四面体的体积。
