本题主要考查双曲线及其几何性质。

设该双曲线方程为，因为为等腰三角形且顶角为，故，，过点向轴做垂线，交轴与点，则，在中，，故，，故点坐标为，代入双曲线方程可得，整理得，故该双曲线的离心率为。

故本题正确答案为D。