(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
(Ⅰ)请将字母,,标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(Ⅱ)判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:直线平面。
(Ⅰ)点、、的位置如图所示。
(Ⅱ)平面平面。证明如下:因为为正方体,所以,。又,,所以,,于是为平行四边形,所以。又平面,平面,所以平面。同理平面。又,所以平面平面。
(Ⅲ)连接。因为为正方体,所以平面。因为平面,所以。又,,所以平面。又平面,所以。同理。又,所以平面。
本题主要考查空间几何体。
(1)根据平面展开图及该正方体的直观图可知该正方体是将做底面,其他面折起来得到的,根据平面和空间位置关系可以标出点、、的位置。
(2)因为为正方体,所以可知,所以平面,同理平面,又因为与相交于点,从而证明平面平面。
(3)先由平面得,又,所以平面,所以,同理,垂直于平面中两条相交直线,所以平面。