(本小题分,(Ⅰ)小问分,(Ⅱ)小问分)
如题()图,三棱锥中,平面平面,,点,在线段上,且,,点在线段上,且。
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若四棱锥的体积为,求线段的长。
(Ⅰ)如答()图,由,知,为等腰中边的中点,故。又平面平面,平面平面,平面,,所以平面,从而。因,,故。从而与平面内两条相交直线,都垂直,所以平面。
(Ⅱ)设,则在直角中,,从而。由知,,得,故,即。由,,从而四边形的面积为。由(Ⅰ)知,平面,所以为四棱锥的高。在直角中,。体积,故得,解得或,由于,可得或。所以或。
本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
(Ⅰ)由题意知,所以平面,则,又因为,由直线与平面垂直的判定定理可得平面。
(Ⅱ)设,故,因为,所以,可得,因为为四棱锥的高。根据,可求出。