本题主要考查函数的奇偶性。

A项，为非奇非偶函数，故A项不符合题意；

B项，不存在零点，故B项不符合题意；

C项，为奇函数，故C项不符合题意；

D项，为偶函数且存在零点，故D项符合题意。

故本题正确答案为D。