（本小题满分12分）
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且。
（1）若为线段的中点，求证：平面；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）若，点在线段上，求的最小值。
（1）在中，因为，为中点，所以，又垂直于圆所在的平面，所以，因为，所以平面。
（2）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为。又，所以面积的最大值为，又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为。
（3）在中，，，所以，同理，所以，在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，当、、共线时，取得最小值。又因为，，所以垂直平分，即为中点，从而，亦即的最小值为。
本题主要考查空间几何体与点、线、面的位置关系。
（1）要证线面垂直，只需证明该直线垂直于平面内的两条相交直线即可；
（2）以为底面，则三棱锥的高为，故的面积最大时，三棱锥的体积最大，而当时，的面积最大，故三棱锥体积的最大值可求；
（3）将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，即当、、共线时，取得最小值。
