（本小题满分分）
设函数，。已知曲线在点处的切线与直线平行。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值。
（Ⅰ），因为处的切线平行于直线，所以，即，解得。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，所以。令，所以。当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数。所以当时取最小值，，所以，可得在上为增函数，所以在上为增函数。，当时，，为增函数；当时，，为减函数。所以时，取最大值。令，所以，。所以存在，使在内存在唯一的根。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，其中。当时取最大值，，所以。
本题主要考查函数的综合应用。
（1）对函数求导，根据平行直线的斜率相等，将已知点代入原函数即可求得的值；
（2）将（1）中的值代入原函数，进行二次求导，可得原函数的导数恒大于零，故其在定义域内为单调递增函数，且时，使在内存在唯一的根。
（3）由（2）中 的结论，可得时取最大值，且最大值为。
