本题主要考查直线与圆锥曲线。

根据双曲线方程可知，，，，所以。双曲线的左焦点，。当周长取最小值时，点位于直线上。又，所以直线为，联立直线与双曲线的方程，解得。所以直线为，直线在轴上的截距为，即点。所以。

故本题正确答案为。