（本小题满分16分）
已知函数，其中是自然对数的底数。
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：存在，使得成立。试比较与的大小，并证明你的结论。
（1）因为对任意，都有，所以是上的偶函数。
（2）由条件知在上恒成立，令，则，所以对任意成立，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，因此实数的取值范围是。
（3）令函数，则，当时，，又，故，所以是上的单调增函数，因此在上的最小值是，由于存在，使成立，当且仅当最小值，故，即。令函数，则，令，得。当时，，故是上的单调减函数；当时，，故是上的单调增函数。所以在上的最小值是。注意到，所以当时，；当时，。所以对任意的成立。
①当时，，即，从而；
②当时，；
③当时，，即，故。
综上所述，当时，；当时，；当时，。
本题主要考查偶函数、不等式恒成立问题以及导数与函数单调性。
（1）根据偶函数的定义可证明；
（2）关键是令，再化简不等式；
（3）根据不等关系重新建立函数，对新函数进行求导，根据导数与函数单调性关系进行求证。
