【题情】本题共被作答2639次，正确率为33.00%，易错项为B
【知识点】函数的值域

一、【弄清题意】
已知分段函数的最小值，求参数。
二、【拟定方案】
先分别求出分段函数的最小值（可以带参数）,然后要使$f(0)$成为最小值，列出对应不等式即可求解。
三、【执行方案】
当$x>0$时，$f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$，
所以$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，
所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上的最小值为$f(1)=2+a$，
要使$f(0)$是$f(x)$的最小值，则当$x \leqslant 0$时，$f(x)$的最小值为$f(0)$，
所以$f(x)$在$(-\infty,0]$上单调递减，
则有$a \geqslant 0$且$f(0) \leqslant f(1)=2+a$，
即$a \geqslant 0$且$a^2 \leqslant 2+a$，解得$0 \leqslant a \leqslant2$。
故本题正确答案为D。