本题主要考查圆与方程。

设圆的半径为，如图所示，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，要使圆的面积最小，那么只需半径最小，当点，，在一条直线上时，半径取到最小值，则原点到直线的距离是，那么，所以，则圆的面积。

故本题正确答案为A。