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2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第20题

  2016-10-30 09:14:57  

(2014新课标Ⅰ卷计算题)

(本小题满分12分)

已知点,椭圆的离心率为是椭圆的焦点,直线的斜率为为坐标原点。

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)设过点的动直线相交于两点,当的面积最大时,求的方程。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)设,由条件知,,得。又,所以,故的方程为

(Ⅱ)根据题意,设,将代入。当,即时,。从而。又点到直线的距离,所以的面积。设,则。因为,当且仅当,即时等号成立,且满足。所以,当的面积最大时,的方程为

【解析】

本题主要考查圆锥曲线与方程。

(Ⅰ)通过直线的斜率求得,通过离心率即可求得,故得到的方程;

(Ⅱ)设出直线的方程和点的坐标,联立直线与椭圆方程,当判别式大于时,根据韦达定理得根与系数的关系得到的长。根据点到直线距离公式代入三角形面积中,得到其关于的表达式,根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时的值,即求得的方程。

【考点】
圆锥曲线曲线与方程
【标签】
直接法函数与方程的思想


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