(本大题满分12分)
已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与的交点为,且。
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过的直线与相交于、两点,若的垂直平分线与相交于、两点,且、、、四点在同一圆上,求的方程。
(Ⅰ)设,代入得。所以,。由题设得,解得(舍去)或。所以的方程为。
(Ⅱ)依题意知与坐标轴不垂直,故可设的方程为()。代入得。设,,则,,故的中点为,。又的斜率为,所以的方程为。将上式代入,并整理得。设,,则,。故的中点为,。由于垂直平分,故、、、四点在同一圆上等价于,从而,即,化简得,解得或。所求直线的方程为或。
本题主要考查抛物线与直线方程。
(1)求出点坐标,根据已知条件建立方程即可解得值;
(2)、、、四点在同一圆上等价于,通过设出各点坐标得到各边的长,代入即可解得所设的各点的坐标,故可得的方程。