(本大题满分12分)
如图,三棱柱中,点在平面内的射影在上,,,。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设直线与平面的距离为,求二面角的大小。
解法一:(Ⅰ)因为平面,平面,故平面平面。又,所以平面。连接,因为侧面为菱形,故。由三垂线定理得。
(Ⅱ)平面,平面,故平面 平面,作,为垂足,则平面。又直线平面,因而平面,又直线平面,因而为直线与平面的距离,。因为为的平分线,故。做,为垂足,连结,由三垂线定理得,故为二面角的平面角。由得为的中点,,。所以二面角的大小为。
解法二:以为坐标原点,射线为轴的正半轴,以的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系。由题设知与轴平行,轴在平面内。
(Ⅰ)设,由题设有,,,则,,,,。由得,即。 ① 于是,所以 。
(Ⅱ)设平面的法向量,则,,即,。因,,故,且。令,则,,点到平面的距离为,又依题设,到平面的距离为,所以。带入①解得(舍去)或。于是。设平面的法向量,则,,即,,,且,令,则,,,又为平面的法向量,故。所以二面角的大小为。
本题主要考查线面关系的判定和二面角。
这里提供两种思路:一、几何法
(1)根据线面关系和三垂线定理即可得到结论;
(2)作出如图所示的辅助线,根据边角关系得到所要求的二面角的具体角,根据各边的长即可得该角的正切值,即得该角的大小;
二、坐标系法
得到各点坐标值,根据直线方向向量乘积为得到两条直线垂直,通过求二面角所在的两平面的法向量的夹角即可得到二面角。