本题主要考查曲线与方程。

抛物线$y^2=3x$的焦点坐标为$\left(\frac{3}{4},0\right)$，

根据题意，直线解析式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{3}{4})$，

联立$\begin{cases} y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{3}{4}),\\ y^2=3x \end{cases}$，

化简得$x^2-\frac{21}{2}x+\frac{9}{16}=0$，

因为直线经过焦点，

故$|AB|=x_A+x_B+p=12$。

故本题正确答案为C。