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2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第21题

  2016-10-30 09:05:18  

(2013辽宁卷计算题)

(本小题满分12分)

已知函数。当时,

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第21题
【答案】

(Ⅰ)要证时,,只需证明。记,则,当时,。因此在上是增函数,故,所以。要证时,,只需证明

,则,当时,,因为上是增函数,故,所以。综上,

(Ⅱ)

,则。记,则,当时,,于是上是减函数,从而当时,,故上是减函数。于是,从而,所以,当时,上恒成立。下面证明,当时,上不恒成立。

,则,当时,

上是减函数,于是上的值域为,因为当时,,所以存在,使得,此时,即上不恒成立。综上,实数的取值范围是

【解析】

本题主要考查函数中不等关系的证明以及两函数比较大小问题。

(Ⅰ)不等式拆成两部分,先证左半部分,用中间函数表示所求等式两边函数的差值函数,求导后根据导数的几何性质即可得证,等式右边也可同理得证;

(Ⅱ)同(Ⅰ)用差值函数间接计算,对差值函数逐步求导直到只与值有关的等式,根据差值函数的取值范围即求得的范围。

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
定义法直接法


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