本题主要考查立体几何中的线段关系求解长度问题。

如图：

由已知条件可知，当时，中点为外接圆的圆心，则外接球的球心在过点的面的垂线上，同理也在过的中点的面的垂线上，由平面平面，则两垂线重合，即平面，又，设外接圆半径为，则，球的半径。

故本题正确答案为C。