(本小题满分14分)
设是正整数,为正有理数。
(Ⅰ)求函数 的最小值;
(Ⅱ)证明:;
(Ⅲ)设,记为不小于的最小整数,例如,,。令,求的值。
(参考数据:,,,)
(Ⅰ),所以
在上单减,在上单增。
所以。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当时,(就是伯努利不等式了)
所证不等式即为:
若,则
因为,,
所以,故①式成立。
若,显然成立。
所以,故②式成立。
综上可得原不等式成立。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:当时,;
所以;
;
本题主要考查导数的运算在研究函数单调性中的应用。
(Ⅰ)本题应该先求出的导数,再令求出函数的极值点,并判断其单调性,便可求出其最小值。
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,得到在(且)上恒成立。然后从原条件出发,简化欲证不等式。再分别令和,并将其代入中化简得到相应条件,便可证明不等式。
(Ⅲ)本题从(Ⅱ)中证明的不等式出发,分别得出的取值范围,并利用叠加法,得到的取值范围。并根据题目中给定的数据,便可得到结果。