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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):理数第22题

  2016-10-30 09:03:20  

(2013湖北卷计算题)

(本小题满分14分)

是正整数,为正有理数。

(Ⅰ)求函数 的最小值;

(Ⅱ)证明:

(Ⅲ)设,记为不小于的最小整数,例如。令,求的值。

(参考数据:

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):理数第22题
【答案】

(Ⅰ),所以

上单减,在上单增。

所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当时,(就是伯努利不等式了)

所证不等式即为:

,则

因为

所以,故①式成立。

显然成立。

因为

所以,故②式成立。

综上可得原不等式成立。

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:当时,

所以

 

所以

【解析】

本题主要考查导数的运算在研究函数单调性中的应用。

(Ⅰ)本题应该先求出的导数,再令求出函数的极值点,并判断其单调性,便可求出其最小值。

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,得到在()上恒成立。然后从原条件出发,简化欲证不等式。再分别令,并将其代入中化简得到相应条件,便可证明不等式。

(Ⅲ)本题从(Ⅱ)中证明的不等式出发,分别得出的取值范围,并利用叠加法,得到的取值范围。并根据题目中给定的数据,便可得到结果。

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
直接法综合与分析法


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