本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系。

双曲线的渐近线的斜率应满足，如图，

左侧不能取等，因为此时不存在满足条件的直线。由于要求有且只有一对相交于点，所成角为的直线，当时，有两对满足条件的直线，故舍去。又，故有。

故本题正确答案为A。

易错项分析：本题易错项为B。在判断渐近线的斜率范围时，考生可能认为该斜率可以取到，但此时并无交点。

易错项分析：不会利用数形结合的思想去解决数学中动态变化的问题而致误。从图中可以看出渐近线的倾斜角在之间，从而可以算出，的一个范围，进一步可以算出离心率的范围。