（本小题满分12分）
设数列 的前项和满足，其中。
（1）求证：是首项为的等比数列；
（2）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。
（1）证法一：由得，即.
因，故，得。
又由题设条件知 ，，
两式相减得，
即，
由，知，因此
综上，对所有成立，从而 是首项为，公比为的等比数列。
证法二：用数学归纳法证明，。
当时，由，得，即，再由，故
所以结论成立．
假设时，结论成立，即，那么，
当时，结论也成立。
综上可得，对任意，。因此是首项为1，公比为的等比数列。
（2）证法一：当或时，显然，等号成立。
设且，由(1)知所以要证的不等式化为
，
即证：，
当时，上面不等式的等号成立。
当时，与同为负；
当时， 与 同为正。
因此当且时，总有，即
<。
上面不等式对从到求和得
由此可得，
综上，当且，有，当且仅当或时等号成立。
证法二：当或时，显然 ，等号成立．当时， ，等号成立
当，由（1）知：，下证：
且
当时，上面不等式化为
令，
当 时，，故
即所要证的不等式成立．
当时，对求导得
其中，则，即是上的减函数，故，从而 ，进而是上的增函数，因此，所要证的不等式成立。
当时，令，则，由已知的结论知。
两边同时乘以得所要证的不等式。
本题主要考查等比数列的证明和数学归纳法。
（1）①由题可得，故。则，对时，可得，则。因为，故。由以上可知 是首项为，公比为的等比数列。②利用数学归纳法可证得。
（2）①由题可得，欲证明，只需证明，又由，则，故可得证。②先求和，得，即只需证明且。令，则只需证明。利用函数单调性可得，同乘可得所求证不等式成立。等号成立充要条件为或。
