本题主要考查函数的周期性和奇偶性。

由题可得，令，则，则知在上单调性与在上的单调性相同，又为偶函数，得到在上单调性与在上的单调性相反，故“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件。

故本题正确答案为D。