本题主要考查函数的基本性质。

A项，由已知条件可得的值域为，故A项正确；

B项，若为有理数，则也为有理数，故，故B项正确；

C项，由于，若为有理数，则为有理数，；若为无理数，则为无理数，；即有，故为周期函数。事实上，任意一个有理数均是的周期，即不存在最小正周期。根据的定义，其值域为，不是单调函数；且由于和同为有理数或同为无理数，故是偶函数。

D项，由已知条件可知不是单调函数；

故本题正确答案为C。