(本题满分12分)
如图,动点与两定点,构成,且,设动点的轨迹为。
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点与轨迹相交于点、,且,求的取值范围。
(Ⅰ)设的坐标为,显然有,。
当°时,点的坐标为;当时,。由,有,即,
化简得而又经过(。综上可知,轨迹的方程为 。
(Ⅱ)由方程消去,可得,由题意,方程有两根且均在内,设,所以,解得且。设、的坐标分别为,由有,
所以
由,且有,
且,所以的取值范围是。
本题主要考查定义法求轨迹方程和与直线相交的综合问题。
(Ⅰ)先设,分别讨论和两种情况下的坐标方程。求得轨迹的方程为。
(Ⅱ)设坐标分别为,联立直线和椭圆方程求解得,并可由韦达定理可求得坐标间的关系。分别用坐标表示和,代入得,从而求得的取值范围是。