本题主要考查函数的性质与计算。

A项，为一次函数，在定义域内单调递增，图像不关于原点中心对称，是增函数但不是奇函数，故A项错误；

B项，为幂函数，在定义域内单调递减，图像关于原点中心对称，是奇函数但不是增函数，故B项错误；

C项，是反比例函数，在定义域内单调递减，图像关于原点中心对称，是奇函数但不是增函数，故C项错误；

D项，图像为的左半部分和的右半部分，在定义域内单调递增，且关于原点中心对称，是奇函数又是增函数，故D项正确。

故本题正确答案为D。