本题主要考查圆的方程和弧长公式。

如图，当圆滚动到圆心位于时，过点作垂直于轴于点，过点作的垂线，垂足为点，根据劣弧长为2，又圆的半径为1，因此，在直角三角形中，，，因此，，故。

故本题正确答案为。