本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程以及椭圆性质的应用。

由双曲线方程知两渐近线方程为，即四边形两对角线互相垂直，设其中的一个交点为，则由椭圆的对称性可知，其余交点分别为、、，即该四边形为正方形。据题意可得，，解得，即点在椭圆上，代入椭圆方程得，又据椭圆离心率，两式联立得，，故椭圆方程为。

故本题正确答案为D。