本题主要考查指数与指数函数和三角函数。

A项，由于，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故A项错误。

B项，由时，，，故，故B项错误。

C项，当时，为增函数，而，故的值不可以趋于无穷大，故C项错误。

D项，由函数为奇函数，时，；当时，的值趋于，故D项正确。

故本题正确答案为D。

易错项分析：本题易错项为B。考生可能没有考虑当时值的正负。