(本题满分12分)
已知抛物线与圆有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线。
(1)求;
(2)设是异于且与及都相切的两条直线,的交点为,求到的距离。
(1)设,
对求导得,
故的斜率。
当时,不合题意,所以,
圆心为,的斜率,
由知,
即,
解得,故。
,
即。
(2)设为上一点,则在该点处的切线方程为,即,
若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,
化简得,
解得,,。
抛物线在点处的切线分别为,,,其方程分别为
得,
将代入得,故,
所以到的距离。
本题主要考查圆锥曲线相关知识。
(1)根据在处两曲线的切线为同一条直线可以求出。
(2)求到的距离,首先要求出的坐标,根据,与两条曲线都相切,写出两切线的方程,可以解得点坐标。