(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点,且在上。
(1)求的方程;
(2)设直线同时与椭圆和抛物线相切,求直线的方程。
(1)由题意得:,故椭圆的方程为:。
(2)①设直线,直线与椭圆相切直线与抛物线相切,得:不存在。
②设直线,直线与椭圆相切两根相等。直线与抛物线相切两根相等。解得:或。
本题主要考查椭圆、抛物线直线与曲线相切等相关知识。
(1)由题意可知:,,根据,即可得出的方程。
(2)由直线与曲线相切,可知联立直线方程与曲线方程所得的等式有两个相等实根。在设出直线的一般形式前,需考虑直线的斜率是否存在。经过验证知:直线的斜率不存在的情况不合题意。另外根据椭圆和抛物线的对称性可知,满足条件的直线有两条。