(本小题满分14分)
海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向海里处,如图。现假设:
①失事船的移动路径可视为抛物线;
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;
③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为。
(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标。若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
(1)时,的横坐标,代入抛物线方程中,得的纵坐标,
由,得救援船速度的大小为海里/时, 由,得,故救援船速度的方向为北偏东弧度。
(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为,
由,整理得,
因为,当且仅当时等号成立。
所以,即。
因此,救援船的时速至少是海里才能追上失事船。
本题主要考查抛物线方程及不等式在实际生活中的应用。
(1)将横坐标代入抛物线方程,即可得出的纵坐标。由假设②及可得出速度为海里/时。利用反三角函数表示救援船的方向即为北偏东弧度。
(2)救援船能够追上失事船说明经过小时两船会合。小时后,失事船的位置为,由,根据的范围以及基本不等式即可求得时速的最大值。