(本小题满分13分)
已知三点,,,曲线上任意一点满足。
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线上动点,曲线在点处的切线为,点的坐标是,与,分别交于点,,求与的面积之比。
(1)由,,得,,由已知得,化简得曲线的方程是。
(2)直线,的方程分别是,,曲线在处的切线的方程是,它与轴的交点为,分别联立方程组和,解得,的横坐标分别是,。所以,,故,而,则。
本题主要考查平面向量的基本运算、两点间的距离公式及直线与曲线的方程的相关知识。
(1)根据已知条件将、、、四点的坐标代入等式,可得、的关系式,即为曲线的方程。
(2)根据已知可以得出直线,的方程,并得出切线含有参数、的方程,直线方程连立可得出交点坐标,即可得出两三角形面积的表达式,从而得出与的面积之比。由于含有参数、,所以得不出面积的具体数值。