91学 首页 > 数学 > 高考题 > 2011 > 2011年新课标理数 > 正文 返回 打印

2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷):理数第20题

  2016-10-28 16:57:58  

(2011新课标卷计算题)

(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中,已知点点在直线上,点满足, 点的轨迹为曲线

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)上的动点,点处的切线,求点到距离的最小值。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷):理数第20题
【答案】

(Ⅰ)设,由已知得

所以

再由题意可知(, 即

所以曲线的方程式为

(Ⅱ)设为曲线上一点,因为,所以的斜率为

因此直线l的方程为,即

点到的距离:

,所以

时取等号,所以点到距离的最小值为

【解析】

本题主要考查向量与圆锥曲线的综合应用。

(1)由于点的轨迹,故可设点的坐标为,进而由,可得出M点的坐标是,据此可求出,进而由得出曲线的方程。

(2)由曲线的方程可得出直线的斜率,由于直线过点,故可得出其方程。然后可由点到直线的距离公式得出点到直线的距离,最后利用不等式的相关知识求出满足条件的最小值。

【考点】
曲线与方程向量的线性运算直线与方程平面向量的数量积
【标签】
直接法函数与方程的思想


http://x.91apu.com//shuxue/gkt/2011/2011xkbl/27061.html