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2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第20题

  2016-10-28 19:09:03  

(2012辽宁卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,椭圆为常数),动圆。点分别为的左、右顶点, 相交于四点。

(1)求直线与直线交点的轨迹方程;

(2)设动圆相交于四点,其中。若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷):理数第20题
【答案】

(1)设,又知,,则

直线的方程为

直线的方程为

由①②得

由点在椭圆上,故可得,从而有,代入③得

(2)证明:设,由矩形与矩形的面积相等,得

所以,因为点均在椭圆上,所以

,知,所以。从而,因而为定值。

【解析】

本题主要考查椭圆的方程与圆的方程。

(1)注意到可以是椭圆上第二象限内的任意一点,用不到其在圆上。设,则,求出的方程,观察其特点,直接相乘,再利用在椭圆上,即可得到的轨迹方程。也可先设出坐标,利用上列方程,寻找的关系。

(2)设,利用面积相等列式子,再利用在椭圆上,求出的值。其实,先消掉求出即可。

【考点】
圆与方程圆锥曲线直线与圆锥曲线
【标签】
直接法消去法等价转化思想


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