(本小题满分12分)
如图,椭圆(,,为常数),动圆。点分别为的左、右顶点, 与相交于四点。
(1)求直线与直线交点的轨迹方程;
(2)设动圆与相交于四点,其中,。若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值。
(1)设,又知,,则
直线的方程为
由①②得
由点在椭圆上,故可得,从而有,代入③得
。
(2)证明:设,由矩形与矩形的面积相等,得,
所以,因为点均在椭圆上,所以,
由,知,所以。从而,因而为定值。
本题主要考查椭圆的方程与圆的方程。
(1)注意到可以是椭圆上第二象限内的任意一点,用不到其在圆上。设,则为,求出、的方程,观察其特点,直接相乘,再利用在椭圆上,即可得到的轨迹方程。也可先设出坐标,利用在、上列方程,寻找和的关系。
(2)设,,利用面积相等列式子,再利用,在椭圆上,求出的值。其实,先消掉,求出即可。