(本小题满分13分)
若数列满足,则称为数列。记。
(1)写出一个满足,且的数列;
(2)若,。证明:数列是递增数列的充要条件是;
(3)对任意给定的整数,是否存在首项为的数列,使得?如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由。
(1)是一个满足条件的数列。
(答案不唯一,;;;;都是满足条件的数列)
(2)必要性:因为数列是递增数列,所以,所以是首项为,公差为的等差数列,所以。
充分性:由于
所以,即。
又因为,,所以。
故,即是递增数列。
综上,结论得证。
(3)令,则。
因为
所以
因为,所以为偶数 ,所以为偶数。
所以要使,必须使为偶数。
即整除,亦即或。
当时,数列的项满足,,时,有,;
当时,数列的项满足,。
当或时,不能被整除,此时不存在数列,使得,。
本题主要考查数列的性质。
(1)根据题目所定义的数列,任意写出一个满足题意的数列即可。
(2)分为证明必要性和充分性。充分性:由条件推导结论,每两项的绝对值之差为1,且项数之差为1999,末项与首项的差也为1999,容易看出是极端情况:每一项都比前一项大1;必要性:由结论推导条件,数列是递增数列,则绝对值号可以去掉,得数列时等差数列,由等差数列通项公式可得。
(3)采用假设推论法。先假设有满足条件的,再根据已知条件推导所需要满足的条件。本题在推导时,还根据不同的取值情况进行了分类。最后得出在时,存在符合题意的,在其他取值下不存在符合的。