（本小题满分14分）
已知函数。
（Ⅰ）设函数，求的单调区间；
（Ⅱ）设，解关于的方程；
（Ⅲ）设，证明：。
（Ⅰ），所以。令，得（舍去） 当时，；当时，。
故当时，为增函数；当时，为减函数。
（Ⅱ）因为，故原方程可化为； 即。
故画出函数图象如图所示，
由方程与函数的思想讨论得：
（1）当时，原方程有一解；
（2）当时，原方程有两解；
（3）当时，原方程有一解；
（4）当或时，原方程无解。
（Ⅲ）由已知得
，。
设数列的前项和为，且。
从而有，当时，。又
即对任意时，有，又因为，所以
，则
故原不等式成立。
本题主要考查求函数单调区间、函数图像交点与方程的解的关系不等式的放缩证明。
（Ⅰ）对求导得到的表达式，求得的零点，判断各区间内导函数的符号，即可求得单调区间。
（Ⅱ）由方程与函数的联系，把方程解的问题转化为函数图像交点问题，根据参数的不同讨论交点个数即解的个数。
（Ⅲ）根据函数自变量的特点（为正整数）将原问题转换为数列的求和问题，再通过不等式放缩证明原不等式。
