高考数学必做百题第100题（理科2017版）打印页面

高考数学必做百题第100题（理科2017版）

2016-10-11 08:23:29

100. 设 $a+b+c=1$ 均为正数,且 $ab+bc+ca\le \dfrac{1}{3}$ ,证明: （1） $\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}\ge 1$ （2） ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$ 证明：（1）∵ ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$ , ${{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc$ , ${{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2ac$ , ∴ ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca$ . ∵ ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}=1$ , 即 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca=1$ , ∴ $3\left( ab+bc+ca \right)\le 1$ ,即 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le \dfrac{1}{3}$ . （2） ∵ $\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+b\ge 2a$ , $\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+c\ge 2b$ , $\dfrac{{{c}^{2}}}{a}+a\ge 2c$ , ∴ $\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}+\left( a+b+c \right)\ge 2\left( a+b+c \right)$ , ∴ $\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}\ge a+b+c=1$ . 另证：(Ⅰ)由柯西不等式 $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge {{\left( a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 1 \right)}^{2}}$ ，即 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \dfrac{1}{3}$ ，又 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+b+c \right)}^{2}}-2\left( ab+bc+ca \right)$ ， ∴ $1-2\left( ab+bc+ca \right)\ge \dfrac{1}{3}$ ，即 $ab+bc+ca\le \dfrac{1}{3}$ 。 (Ⅱ)由柯西不等式 $\begin{align} & \left( a+b+c \right)\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a} \right) \\ & \ge {{\left( \sqrt{a}\cdot \dfrac{c}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}\cdot \dfrac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}\cdot \dfrac{b}{\sqrt{c}} \right)}^{2}} \\ \end{align}$ $={{\left( a+b+c \right)}^{2}}=1$ ∴ $\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{c}+\dfrac{{{c}^{2}}}{a}\ge 1$

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