095.（1）（2016江苏21.B）已知矩阵$A\left[ \begin{matrix}   1 & 2  \\   0 & -2  \\\end{matrix} \right]$ 矩阵B的逆矩阵${{B}^{'}}\left[ \begin{matrix}   1 & -\dfrac{1}{2}  \\   0 & 2  \\\end{matrix} \right]$ ，求矩阵AB。

（2）设矩阵$M=\left( \begin{matrix}   a & 0  \\   0 & b  \\\end{matrix} \right)$ (其中$a>0,b>0$)。

①若$a=2,b=3$，求矩阵$M$的逆矩阵${{M}^{-1}}$；

②若曲线$C:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$在矩形$M$所对应的线性变换作用下得到曲线$C':\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$，求$a,b$的值。

解：（1）设$B=\left( \begin{matrix}   a & b  \\   c & d  \\\end{matrix} \right)$，则${{B}^{-1}}B=\left( \begin{matrix}   1 & -\dfrac{1}{2}  \\   0 & 2  \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}   a & b  \\   c & d  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right)$，

即$\left( \begin{matrix}   a-\dfrac{1}{2}c & b-\dfrac{1}{2}d  \\   2c & 2d  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right)$，

∴$\left\{ \begin{matrix}   a-\dfrac{1}{2}c=1  \\   b-\dfrac{1}{2}d=0  \\   2c=0  \\   2d=1  \\\end{matrix} \right.$，解得$\left\{ \begin{matrix}   a=1  \\   b=\dfrac{1}{4}  \\   c=0  \\   d=\dfrac{1}{2}  \\\end{matrix} \right.$ ，

∴$B=\left( \begin{matrix}   1 & \dfrac{1}{4}  \\   0 & \dfrac{1}{2}  \\\end{matrix} \right)$。

∴$AB=\left[ \begin{matrix}   1 & 2  \\   0 & -2  \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}   1 & \dfrac{1}{4}  \\   0 & \dfrac{1}{2}  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}   1 & \dfrac{5}{4}  \\   0 & -1  \\\end{matrix} \right]$

考点：逆矩阵，矩阵乘法。

（2）①设矩阵$M$的逆矩阵${{M}^{-1}}=\left( \begin{matrix}   {{x}_{1}} & {{y}_{1}}  \\   {{x}_{2}} & {{y}_{2}}  \\\end{matrix} \right)$，

则$M{{M}^{-1}}=\left( \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right)$。

又$M=\left( \begin{matrix}   2 & 0  \\   0 & 3  \\\end{matrix} \right)$，∴$\left( \begin{matrix}   2 & 0  \\   0 & 3  \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}   {{x}_{1}} & {{y}_{1}}  \\   {{x}_{2}} & {{y}_{2}}  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right)$。

即$\left( \begin{matrix}   2{{x}_{1}} & 2{{y}_{1}}  \\   3{{x}_{2}} & 3{{y}_{2}}  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right)$,

∴${{y}_{1}}={{x}_{2}}=0$,${{x}_{1}}=\dfrac{1}{2}$,${{y}_{2}}=\dfrac{1}{3}$，

∴所求的逆矩阵${{M}^{-1}}=\left( \begin{matrix}   \dfrac{1}{2} & 0  \\   0 & \dfrac{1}{3}  \\\end{matrix} \right)$。

②设曲线$C$上任意一点$P\left( x,y \right)$，它在矩阵$M$所对应的线性变换作用下得到点$P'\left( x',y' \right)$，

则$\left( \begin{matrix}   a & 0  \\   0 & b  \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}   x  \\   y  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   x'  \\   y'  \\\end{matrix} \right)$，即$\left\{ \begin{matrix}   ax=x'  \\   by=y'  \\\end{matrix} \right.$。

又点$P'\left( x',y' \right)$，在曲线$C'$上，

∴$\dfrac{x{{'}^{2}}}{4}+y{{'}^{2}}=1$。

则$\dfrac{{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{4}+{{b}^{2}}{{y}^{2}}=1$为曲线$C$的方程。

又已知曲线$C$的方程为${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1$，

∴$\left\{ \begin{matrix}   {{a}^{2}}=4  \\   {{b}^{2}}=1  \\\end{matrix} \right.$。

又$a>0,b>0$，∴$a=2,\ \ b=1$。

考点：逆矩阵，矩阵乘法，矩阵的线性变换。