089. （2016北京理18）设函数$f(x)=x{{a}^{a-x}}+bx$，曲线$y=f(x)$在点$(2,f(2))$处的切线方程为$y=(e-1)x+4$。
（1）求$a,b$的值；
（2）求$f(x)$的单调区间。
解：（1）∵$f(x)=x{{\text{e}}^{a-x}}+bx$
∴${f}'(x)={{\text{e}}^{a-x}}-x{{\text{e}}^{a-x}}+b=(1-x){{\text{e}}^{a-x}}+b$
∵曲线$y=f(x)$在点$(2,f(2))$处的切线方程为$y=(\text{e}-1)x+4$
∴$f(2)=2(\text{e}-1)+4$，${f}'(2)=\text{e}-1$
即$f(2)=2{{\text{e}}^{a-2}}+2b=2(\text{e}-1)+4$
${f}'(2)=(1-2){{\text{e}}^{a-2}}+b=\text{e}-1$ ②
由①②解得：$a=2$，$b=\text{e}$
（2）由（1）可知：$f(x)=x{{\text{e}}^{2-x}}+\text{e}x$，
${f}'(x)=\left( 1-x \right){{\text{e}}^{2-x}}+\text{e}$
令$g(x)=(1-x){{\text{e}}^{2-x}}$，
∴${g}'(x)=-{{\text{e}}^{2-x}}-(1-x){{\text{e}}^{2-x}}=(x-2){{\text{e}}^{2-x}}$
| $x$ |
$\left( -\infty ,2 \right)$ |
$2$ |
$\left( 2,+\infty \right)$ |
| ${g}'(x)$ |
|
$0$ |
$+$ |
| $g(x)$ |
$\searrow $ |
极小值 |
$\nearrow $ |
∴$g(x)$的最小值是$g(2)=(1-2){{\text{e}}^{2-2}}=-1$
∴${f}'(x)$的最小值为${f}'(2)=g(2)+\text{e}=\text{e}-1>0$
即${f}'(x)>0$对$\forall x\in \mathbf{R}$恒成立
∴$f(x)$在$\left( -\infty ,+\infty \right)$上单调递增，无减区间.
考点：导数的应用.
