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高考数学必做百题第86题(理科2017版)

  2016-10-11 08:19:44  

 086. 已知函数f(x)=x3ax23x

(1)若f(x)[1,+)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和极值。
解:(1)∵f(x)=x3ax23x
f(x)=3x22ax3
f(x)0,得a32(x1x)
g(x)=32(x1x),则g(x)=32(1+1x2)
∴当x1时,g(x)是增函数,
g(x)min=32(11)=0,∴ag(x)min=0
∴实数a的取值范围是(0]
(2)∵x=3f(x)的极值点,
f(3)=0,即27-6a-3=0,∴a=4
f(x)=x34x23xf(x)=3x28x3
f(x)=0,得x=133
x变化时,f(x)f(x)的变化情况如下表:
x (,13)  13   (13,3) 3   (3,+) 
 f(x)  +  0  -   0  +
 f(x)  ↗  极大值  ↘  极小值  ↗
      
f(x)的单调递增区间为(,13][3,+);单调递减区间为[13,3]f(x)的极大值为1427,极小值为18


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