086. 已知函数f(x)=x3−ax2−3x。
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间和极值。
解:(1)∵f(x)=x3−ax2−3x,
∴f′(x)=3x2−2ax−3。
由f′(x)≥0,得a≤32(x−1x)。
设g(x)=32(x−1x),则g′(x)=32(1+1x2),
∴当x≥1时,g(x)是增函数,
∴g(x)min=32(1−1)=0,∴a≤g(x)min=0。
∴实数a的取值范围是(−∞0]。
(2)∵x=3是f(x)的极值点,
∴f′(3)=0,即27-6a-3=0,∴a=4。
∴f(x)=x3−4x2−3x,f′(x)=3x2−8x−3。
令f(x)=0,得x=−13或3。
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x |
(−∞,−13) |
−13 |
(−13,3) |
3 |
(3,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
∴f(x)的单调递增区间为(−∞,−13],[3,+∞);单调递减区间为[−13,3]。f(x)的极大值为1427,极小值为−18。