（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求证：AM⊥平面BDF；

（3）求二面角A－DF－B的大小。

解：（1）如图，设AC与BD的交点为O，连接OE，

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE。（转化为证明线线平行）

∵$OE\subset $平面BDE， 

且$AM\not\subset $平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

（2）如图，连接OM、OE，

 

∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，

∴$AF\bot ABCD$，又$BD\subset ABCD$，

∴$AF\bot BD$。

在正方形ABCD中，$BD\bot AC$，

又$AC\bigcap AF=A$，∴$BD\bot ACEF$，

又$AM\subset ACEF$，∴$BD\bot AM$。

在正方形ABCD中，$AB=\sqrt{2}$，

∴$AC=2AC=2=2AO=2CO$，

在矩形ACEF中，$AF=1$，（转化为证明线线垂直）

∴$AOMF$是正方形，$AM\bot OF$。

又∵$AM\bot BD$，$BD\bigcap OF=O$，

∴$AM\bot BDF$。

（3）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，又$AD\bigcap AF=A$，

∴AB⊥平面ADF，（线面垂直是关键）

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

 

由三垂线定理得BS⊥DF，（或应用线面垂直转化）

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。（转化为寻求二面角的平面角的大小）

在$Rt\Delta ASB$中，$AS=\dfrac{AD\cdot AF}{DF}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，

$AB=\sqrt{2}$，

∴$\tan \angle ASB=\sqrt{3}$，$\angle ASB=60{}^\circ $。

∴二面角A—DF—B的大小为60º。

（本题可以应用空间向量坐标法证明或求解）

空间向量与立体几何