（1）求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；

（2）记试验次数为$X$，求$X$的分布列及数学期望$E\left( X \right)$。

解：（1）记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件$A$，则$P\left( A \right)=\dfrac{C_{2}^{1}C_{6}^{1}}{C_{8}^{2}}\text{=}\dfrac{3}{7}$ 。

（2）由题知$X$的可能取值为1,2,3,4.则

$P\left( X=1 \right)=\dfrac{C_{2}^{1}C_{6}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{8}^{2}}\text{=}\dfrac{13}{28}$，

$P\left( X=2 \right)=\dfrac{C_{6}^{2}}{C_{8}^{2}}\cdot \dfrac{C_{2}^{1}C_{4}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{8}^{2}}\text{=}\dfrac{9}{28}$，

$P\left( X=3 \right)=\dfrac{C_{6}^{2}}{C_{8}^{2}}\cdot \dfrac{C_{4}^{2}}{C_{6}^{2}}\cdot \dfrac{C_{2}^{1}C_{2}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}}\text{=}\dfrac{5}{28}$，

$P\left( X=4 \right)=\dfrac{C_{6}^{2}}{C_{8}^{2}}\cdot \dfrac{C_{4}^{2}}{C_{6}^{2}}\cdot \dfrac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}}\text{=}\dfrac{1}{28}$。

$X$的分布列为

 

 $E\left( X \right)＝1×\dfrac{12}{28}＋2×\dfrac{9}{28}＋3×\dfrac{5}{28}＋4×\dfrac{1}{28}＝\dfrac{25}{14}$。

统计案例